В треугольнике АВС известно, что ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что AC = 64, HC = 16 и ∠ACB = 37°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Решение:

• Так как ВМ - медиана, то AM = MC = AC/2 = 64/2 = 32.
• Известно, что HC = 16, значит AH = AC - HC = 64 - 16 = 48.
• Рассмотрим треугольник BHC. Угол ∠BCH = 37°. Так как BH - высота, то угол ∠BHC = 90°. Тогда угол ∠HBC = 180° - 90° - 37° = 53°.
• Рассмотрим треугольник ABH. В нем ∠BAH = 90° - ∠ABH.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°. Отсюда ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB.
• Чтобы найти ∠AMB, нужно узнать ∠ABM и ∠BAM.
• Сделаем дополнительные построения. Продлим медиану ВМ до точки К, так что ВМ = МК. Тогда получим параллелограмм АВСК, так как диагонали в точке пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме ∠ABM = ∠CKM.
• ∠AMB – внешний для треугольника СМК, значит, ∠AMB = ∠MCK + ∠CKM.
• Угол ∠ABC = ∠ABH + ∠HBC. Угол ∠HBC = 53°, мы его уже нашли.
• Найдем угол ∠ABH. В треугольнике ABH угол ∠BAH = 90° - ∠ABH.
• ∠AMB = ∠HBC + ∠ACB + 90 = 53+37+90 = 180-37 = 143

Ответ: 143°