В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, что АМ : MC=1:5, а на стороне ВС - точка N так, что BN:NC=1:2. Найдите отношение ВК: КМ, где К - точка пересечения прямых АМ и ВМ.

Используем теорему Менелая для треугольника АСN и прямой В-К-М: (CB/BN) * (NK/KA) * (AM/MC) = 1. (3/1) * (NK/KA) * (1/5) = 1. NK/KA = 5/3. Используем теорему Менелая для треугольника BCM и прямой A-K-N: (BC/CN) * (NA/AM) * (MK/KB) = 1. (3/2) * (NA/AM) * (MK/KB) = 1. Используем теорему Ван-Аубеека. Пусть AM/MC = 1/5, BN/NC = 1/2. Отношение площадей: S(ABM)/S(CBM) = AM/MC = 1/5. S(ABN)/S(ACN) = BN/NC = 1/2. Пусть S(ABC) = S. S(ABM) = S/6, S(CBM) = 5S/6. S(ACN) = 2S/3, S(ABN) = S/3. Площадь треугольника ABK. Площадь треугольника BKM. Используем теорему Чевы или метод векторного произведения. По теореме Ван-Аубеека: BK/KM = (S(ABN)/S(ACN)) * (AC/AM) + (S(CBN)/S(CAN)) * (AC/CM) = (1/2)*(6/1) + (1/3)*(6/5) = 3 + 6/5 = 21/5. BK/KM = 21/5.