4.* В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Выразите вектор АО через векторы а = АВ и в = АС.

Пусть в треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Обозначим векторы $$ \vec{AB} = \vec{a} $$ и $$ \vec{AC} = \vec{b} $$. Медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть M — середина BC. Тогда $$ \vec{AM} $$ — медиана треугольника ABC. Выразим $$ \vec{AM} $$ через векторы $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$.

$$ \vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) $$.

Так как точка O делит медиану AM в отношении 2:1, то $$ \vec{AO} = \frac{2}{3} \vec{AM} $$.

Следовательно, $$ \vec{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b}) $$.

Ответ: $$ \vec{AO} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b}) $$