1 вариант. Контрольная раб 1. Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте векторы, равные: 1 a) +36; 6) 26 - ā 2

1. Для построения неколлинеарных векторов $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$ , необходимо, чтобы они не лежали на одной прямой или на параллельных прямых. Построение векторов, равных заданным, включает в себя масштабирование и сложение/вычитание векторов.

a) $$ \frac{1}{2} \vec{a} + 3 \vec{b} $$:

• Строим вектор $$ \frac{1}{2} \vec{a} $$, который имеет ту же направленность, что и $$ \vec{a} $$, но его длина составляет половину длины $$ \vec{a} $$.
• Строим вектор $$ 3 \vec{b} $$, который имеет ту же направленность, что и $$ \vec{b} $$, но его длина в три раза больше длины $$ \vec{b} $$.
• Складываем векторы $$ \frac{1}{2} \vec{a} $$ и $$ 3 \vec{b} $$ по правилу параллелограмма или треугольника, в зависимости от удобства построения.

б) $$ 2 \vec{b} - \vec{a} $$:

• Строим вектор $$ 2 \vec{b} $$, который имеет ту же направленность, что и $$ \vec{b} $$, но его длина в два раза больше длины $$ \vec{b} $$.
• Строим вектор $$ -\vec{a} $$, который имеет противоположную направленность вектору $$ \vec{a} $$, и ту же длину, что и $$ \vec{a} $$.
• Складываем векторы $$ 2 \vec{b} $$ и $$ -\vec{a} $$ по правилу параллелограмма или треугольника.

Пример неколлинеарных векторов и их преобразований:

      b
      ↑
      |       /  1/2 a
      |      /   ↑
      |     /    |
      |    /     |
 a ←--|---/------
      |  / 
      | /   
     V
    -a

2. Дано: ABCD - ромб, K лежит на BC, BK = KC, O - точка пересечения диагоналей.

Выразить векторы $$ \vec{AO}, \vec{AK}, \vec{KD} $$ через векторы $$ \vec{a} = \vec{AB} $$ и $$ \vec{b} = \vec{AD} $$.

• $$ \vec{AO} $$: Так как O - точка пересечения диагоналей ромба, то $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC} $$. В ромбе $$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} $$. Следовательно, $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) $$.
• $$ \vec{AK} $$: Точка K - середина BC, значит, $$ \vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC} $$. Так как $$ \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b} $$, то $$ \vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{b} $$. Тогда $$ \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} $$.
• $$ \vec{KD} $$: $$ \vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} $$.

Ответ:

• $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) $$
• $$ \vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} $$
• $$ \vec{KD} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} $$