28. В треугольнике АВС отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 71. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

В треугольнике АВС, M и N - середины сторон BC и AC соответственно, следовательно, MN - средняя линия треугольника ABC, MN || AB и MN = 1/2 AB. Треугольники CNM и CAB подобны по двум углам (угол C - общий, углы CNM и CAB равны как соответственные при MN || AB и секущей AC). Коэффициент подобия k = CN/CA = 1/2 (т.к. MN - средняя линия).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = k^2$$ $$\frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Тогда:

$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 71 = 284$$

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольников ABC и CNM:

$$S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} = 284 - 71 = 213$$

Ответ: 213