5В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠С = 11° и АК = CK.

Ответ: 22°

Решение:

1. Так как AK = CK, треугольник ACK - равнобедренный, следовательно, углы \(\angle CAK\) и \(\angle C\) равны: \(\angle CAK = \angle C = 11^\circ\).
2. AK - биссектриса угла A, значит, угол \(\angle BAK\) равен углу \(\angle CAK\): \(\angle BAK = \angle CAK = 11^\circ\).
3. Угол A равен сумме углов \(\angle BAK\) и \(\angle CAK\): \(\angle A = \angle BAK + \angle CAK = 11^\circ + 11^\circ = 22^\circ\).
4. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
5. Выразим угол B: \(\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 22^\circ - 11^\circ = 147^\circ\).
6. Так как AK - биссектриса, то \(\angle CAK = \angle KAB = 11^\circ\), следовательно, \(\angle BAC = 22^\circ\).
7. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 22^\circ - 11^\circ = 147^\circ\).
8. В треугольнике ACK углы при основании AK равны, значит, \(\angle CAK = \angle C = 11^\circ\).
9. Тогда \(\angle AKC = 180^\circ - 11^\circ - 11^\circ = 158^\circ\).
10. Угол AKB смежный с углом AKC, поэтому \(\angle AKB = 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ\).
11. Так как в треугольнике ABK углы \(\angle KAB = \angle AKB = 11^\circ\), то треугольник ABK - равнобедренный, следовательно, AB = BK.
12. Угол B равен углу BAK, то есть \(\angle B = 22^\circ\).

Ответ: 22°