4. В треугольнике АВС проведена медиана CD, которая отсекает от него равнобедренный треугольник CDB (BD = CD). Найдите угол АСВ, если угол САВ равен 64°.

Пошаговое решение:

1. Поскольку треугольник CDB равнобедренный (BD = CD), то \(\angle CBD = \angle BCD\).
2. Пусть \(\angle CBD = x\). Тогда \(\angle CDB = 180° - 2x\).
3. Так как CD - медиана, то AD = DB. Но нам это не нужно.
4. Рассмотрим треугольник ABC. \(\angle CAB = 64°\). Значит, \(\angle ACB = 180° - 64° - x = 116° - x\).
5. Так как \(\angle BCD = x\), то \(\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD\). Следовательно, \(\angle ACD = (116° - x) - x = 116° - 2x\).
6. Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°: \(\angle ADC + \angle DAC + \angle ACD = 180°\). Заменим \(\angle ADC\) на \(180° - \angle CDB\) (смежные углы). Значит, \(\angle ADC = 180° - (180° - 2x) = 2x\).
7. Тогда: \(2x + 64° + 116° - 2x = 180°\), что невозможно. В треугольнике CDB: \(\angle CDB = 180° - 2x\). В треугольнике ABC: \(\angle ABC = x\), \(\angle BAC = 64°\), \(\angle ACB = 180° - 64° - x = 116° - x\).
8. По условию \(BD = CD\). Также \(AD = BD\) (медиана). Значит, \(AD = CD\), то есть треугольник ADC равнобедренный и \(\angle DAC = \angle DCA = 64°\).
9. Тогда \(\angle CDB = \angle DAC + \angle DCA = 64° + 64° = 128°\).
10. В треугольнике CDB: \(\angle CBD = \angle BCD = (180° - 128°) / 2 = 52° / 2 = 26°\).
11. Значит, \(\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = 64° + 26° = 90°\).

Ответ: 90°