15. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 65° и ВМ = AM = MC. Ответ: 25°

Пошаговое решение:

1. Так как BM = MC, то треугольник BMC – равнобедренный, и углы при основании равны: ∠MBC = ∠C = 65°.
2. Треугольник ABM также равнобедренный, так как BM = AM.
3. Угол ∠BMC является внешним углом для треугольника ABM. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним: ∠BMC = ∠MBA + ∠MAB.
4. Так как треугольник ABM равнобедренный (AM = BM), то углы при основании равны: ∠MBA = ∠MAB = ∠A.
5. Тогда ∠BMC = ∠A + ∠A = 2∠A.
6. Мы знаем, что ∠BMC является смежным с углом ∠BMA, значит, ∠BMA = 180° - ∠BMC.
7. Так как ∠MBC = 65°, то ∠BMA = 180° - 65° = 115°.
8. Таким образом, 2∠A = 115°, значит, ∠A = 115°/2 = 57.5°. Это не соответствует предложенным вариантам ответа.
9. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда ∠A = 180° - ∠B - ∠C.
10. Угол ∠B = ∠MBA + ∠MBC = ∠A + 65°. Подставляем в уравнение для суммы углов треугольника: ∠A + ∠A + 65° + 65° = 180° 2∠A + 130° = 180° 2∠A = 50° ∠A = 25°

Ответ: 25