В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АH = 54, BC = BM. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Рассмотрим треугольник BHC. Так как BH — высота, то \( \angle BHC = 90° \). В прямоугольном треугольнике BHC, катет HC больше катета BC, если \( \angle HBC < 45° \), и меньше, если \( \angle HBC > 45° \).

Условие \( BC = BM \) означает, что треугольник BCM — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BCM = \angle BMC \).

В треугольнике ABM, BM — медиана. Так как \( BC = BM \), то треугольник ABM равнобедренный, и \( \angle BAM = \angle BMA \).

Также, \( \angle BMC \) — внешний угол треугольника ABM. Поэтому \( \angle BMC = \angle BAM + \angle BMA = 2 \angle BAM \).

Поскольку \( \angle BCM = \angle BMC \), то \( \angle BCM = 2 \angle BAM \).

В треугольнике ABC:

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCM = 180° \]

\( \angle BAM + \angle ABM + \angle BCM = 180° \)

Из \( \angle BAM = \angle BMA \) и \( \angle BMC = \angle BCM \) следует, что \( \angle BMA \) — внешний для \( \triangle ABM \), так что \( \angle BMA = \angle BAM + \angle ABM \).

Из \( BC = BM \) и \( BM \) — медиана, следует, что \( MC = AM \).

В \( \triangle ABM \), \( BM = MC \), значит \( \angle ABM = \angle MAC \).

В \( \triangle ABM \), \( AM = MC \), значит \( \angle ABM = \angle MAB \) (так как \( BM=AM \) по условию, а \( \angle ABM = \angle MAB \) по теореме о внешнем угле).

Тогда \( \angle MAB = \angle MAB \).

Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( BC=BM \) => \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( BM \) — медиана, значит \( AM=MC \). \( BC=BM=AM=MC \).

В \( \triangle ABM \): \( BM = AM \), значит \( \triangle ABM \) равнобедренный. \( \angle ABM = \angle BAM \).

В \( \triangle BCM \): \( BC = MC \), значит \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle CBM = \angle CMB \).

Так как \( BM \) — медиана, \( AM = MC \).

Так как \( BC = BM \), то \( BC = AM = MC \).

В \( \triangle ABM \): \( BM = AM \). \( \angle ABM = \angle BAM \).

В \( \triangle BCM \): \( BC = MC \). \( \angle CBM = \angle CMB \).

Угол \( \angle CMB \) — внешний для \( \triangle ABM \). Следовательно, \( \angle CMB = \angle ABM + \angle BAM \).

Так как \( \angle ABM = \angle BAM \), то \( \angle CMB = 2 \angle BAM \).

Из \( \angle CBM = \angle CMB \), получаем \( \angle CBM = 2 \angle BAM \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = \angle BAM \), \( \angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = \angle BAM + 2 \angle BAM = 3 \angle BAM \).

Сумма углов \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle C = 180° \)

\[ \angle BAM + 3\angle BAM + \angle C = 180° \]

\( 4\angle BAM + \angle C = 180° \)

В \( \triangle BHC \) прямоугольном: \( \angle C + \angle CBM = 90° \).

\( \angle C + 2\angle BAM = 90° \).

Выразим \( \angle C = 90° - 2\angle BAM \).

Подставим в уравнение суммы углов \( \triangle ABC \):

\[ 4\angle BAM + (90° - 2\angle BAM) = 180° \]

\( 2\angle BAM + 90° = 180° \)

\( 2\angle BAM = 90° \)

\( \angle BAM = 45° \).

Тогда \( \angle C = 90° - 2(45°) = 0° \), что невозможно.

Проанализируем условие \( BC=BM \). В \( \triangle BHC \), \( BH \) — катет, \( BC \) — гипотенуза. \( BH \) всегда меньше \( BC \) (если \( H \neq C \)).

В \( \triangle BHM \), \( BM=BC \). \( H \) лежит на \( AC \). \( BH \) — высота, \( BM \) — медиана.

Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( BH \) — катет, \( BC \) — гипотенуза. \( BH < BC \).

По условию \( BC = BM \). Следовательно, \( BH < BM \).

В \( \triangle BHM \), \( BH < BM \). Если \( BH \) — высота, а \( BM \) — медиана, то \( H \) и \( M \) лежат на \( AC \).

Так как \( AH = 54 \) и \( BH \) — высота, \( M \) — середина \( AC \).

В \( \triangle BHC \), \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).

В \( \triangle BHM \): \( BH^2 + HM^2 = BM^2 \).

Поскольку \( BC = BM \), то \( BH^2 + HC^2 = BH^2 + HM^2 \).

Следовательно, \( HC^2 = HM^2 \), а так как \( HC \) и \( HM \) — длины, то \( HC = HM \).

Точка \( M \) — середина \( AC \), значит \( AM = MC \).

Также \( HC = HM \).

Рассмотрим положение точек на прямой AC. \( A, H, M, C \) или \( A, M, H, C \) или \( H, A, M, C \).

Если \( H \) между \( A \) и \( M \): \( AM = AH + HM \) и \( MC = HC - HM \). Так как \( AM = MC \), то \( AH + HM = HC - HM \). \( AH = HC - 2HM \).

Если \( M \) между \( A \) и \( H \): \( AH = AM + MH \) => \( 54 = AM + HM \). \( MC = HC - HM \). \( AM = MC \) => \( 54 - HM = HC - HM \) => \( 54 = HC \).

Если \( H \) между \( M \) и \( C \): \( MC = MH + HC \). \( AM = AC/2 \). \( MC = AC/2 \). \( AH = 54 \). \( AM = MC \).

Из \( HC = HM \) и \( M \) — середина \( AC \), \( AM = MC \). Мы имеем два случая:

1. Точка H лежит между A и M. Тогда \( AM = AH + HM \) и \( MC = HC - HM \). Так как \( AM = MC \) и \( HM = HC \), то \( AH + HM = HM - HM = 0 \), что невозможно.

2. Точка M лежит между A и H. Тогда \( AH = AM + MH \) => \( 54 = AM + HM \). \( MC = HC - HM \). Так как \( AM = MC \) и \( HM = HC \), то \( 54 - HM = HM - HM = 0 \) => \( 54 = HM \). Тогда \( HC = 54 \).

3. Точка H лежит между M и C. Тогда \( MC = MH + HC \). Так как \( AM = MC \) и \( HM = HC \), то \( AM = HM + HC \). \( AH = AM - HM = HC - HM \). \( 54 = HC - HM \). Но \( HC = HM \). Тогда \( 54 = 0 \), что невозможно.

Итак, случай 2: \( M \) лежит между \( A \) и \( H \). \( AH = 54 \). \( HM = HC = 54 \).

\( MC = HC - HM = 54 - 54 = 0 \) — невозможно.

Рассмотрим случай, когда H лежит между A и C, а M — середина AC.

Возможны два варианта расположения H относительно M:

a) H находится между A и M. Тогда \( AM = AH + HM \) и \( MC = HC - HM \). Так как \( AM = MC \) и \( HM = HC \), то \( AH + HM = HM - HM = 0 \). Очевидно, что \( AH \) не может быть 0.

b) M находится между A и H. Тогда \( AH = AM + MH \) => \( 54 = AM + MH \). \( MC = HC - MH \). Так как \( AM = MC \) и \( MH = HC \), то \( 54 - MH = MH - MH = 0 \) => \( 54 = MH \). Тогда \( HC = 54 \).

В этом случае \( AC = AM + MC + CH \) — некорректно.

Из \( HC = HM \) и \( M \) — середина \( AC \):

Если H лежит между A и M, то \( AM = AH + HM \) и \( MC = HC - HM \). Так как \( AM = MC \) и \( HC = HM \), то \( AH + HM = HM - HM \). \( AH = 0 \), что невозможно.

Если M лежит между A и H, то \( AH = AM + MH \) => \( 54 = AM + MH \). \( MC = HC - MH \). Так как \( AM = MC \) и \( MH = HC \), то \( 54 - MH = MH - MH \) => \( 54 = MH \). Значит \( HC = 54 \).

\( AC = AM + MC + CH \) — если H лежит вне отрезка MC. \( AC = 2 AM \).

В случае, когда M лежит между A и H, \( AH = 54 \) и \( MH = HC = 54 \). \( AM = AH - MH = 54 - 54 = 0 \), что невозможно.

Следовательно, H лежит между M и C. Тогда \( MC = MH + HC \). Так как \( AM = MC \) и \( HM = HC \), то \( AM = MH + HC \). \( AH = AM - MH = HC - HC = 0 \), что невозможно.

Рассмотрим еще раз \( HC = HM \) и \( AM = MC \).

Если H лежит между A и M, то \( AM = AH + HM \). \( MC = HC - HM \). \( AH+HM = HC-HM \). \( AH = HC - 2HM \).

Если M лежит между A и H, то \( AH = AM + MH \). \( MC = HC - MH \). \( AM = MC \) => \( 54-MH = HC-MH \) => \( 54 = HC \). \( MH = HC = 54 \). \( AM = 54-54 = 0 \) — невозможно.

Если H лежит между M и C, то \( MC = MH + HC \). \( AM = MC \) => \( AM = MH + HC \). \( AH = AM - MH \). \( 54 = AM - MH \). \( 54 = (MH+HC) - MH = HC \). \( HM = HC = 54 \). \( AM = 54+54 = 108 \). \( AC = 2*AM = 216 \).

Проверка: \( AC = 216 \). \( AM = MC = 108 \). \( H \) лежит между \( M \) и \( C \). \( HM = 54 \), \( HC = 54 \). \( MC = HM + HC = 54+54 = 108 \). \( AH = AM - HM = 108 - 54 = 54 \). Это условие выполняется.

Значит \( AC = 216 \).

Ответ: 216.