В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 2 и BC = BM. Найдите АН.

Определим предмет: геометрия.

Поскольку ВМ - медиана, то AM = MC = AC/2 = 2/2 = 1.

Пусть ∠ВАС = α

Тогда ∠BCA = α, так как BM = BC, следовательно ΔВМС равнобедренный.

Тогда ∠ABC = 180 - 2α, сумма углов треугольника.

Если треугольник ABC равнобедренный, то АВ=ВС.

В ΔАВС: ∠А = α, ∠В = 180 - 2α, ∠С = α.

Если ΔАВС равнобедренный, то ВМ не только медиана, но и высота. Отсюда ∠АМВ=90°.

В прямоугольном ΔАВМ: ∠А + ∠АВМ = 90°.

α + (180 - 2α)/2 = 90°

α + 90 - α = 90°

Отсюда следует, что ∠В=90°.

В прямоугольном ΔАВС (∠В = 90°): АС = 2, АМ=МС=1.

Рассмотрим прямоугольный ΔАВН. ∠АНВ=90°.

ΔАВН и ΔАВС имеют общий ∠А.

Так как ВН - высота ΔАВС, то ∠АНВ=90°.

Треугольники ΔАВН и ΔАВС подобны по двум углам.

sin α = BH/AB = AC/BC

Следовательно, AB = BC = √2

cos α = AH/AB = AB/AC

AH = AB²/AC = (√2)²/2 = 2/2 = 1

Ответ: АН = 1.