13. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АH.

Так как ВМ - медиана, то \(AM = MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 84 = 42\).

Так как \(BC = BM\), то \(\triangle BCM\) - равнобедренный. Значит, \(\angle C = \angle BMC\).

Так как ВН - высота, то \(\triangle BHC\) - прямоугольный. Обозначим \(HC = x\), тогда \(AH = AC - HC = 84 - x\). Тогда \(MC = MH + HC\), отсюда \(MH = MC - HC = 42 - x\).

Рассмотрим \(\triangle BHM\) и \(\triangle BHC\):

\(\angle C = \angle BMC\), \(\angle C = \angle HBM + \angle MHB\) (как внешний угол треугольника). \(\angle MHB = 90^{\circ}\), значит \(\angle HBM = \angle C - 90^{\circ}\).

Т.к \(\angle C\) и \(\angle HBC\) - острые углы прямоугольного \(\triangle BHC\), то их сумма равна \(90^{\circ}\). Следовательно, \(\angle C = 90^{\circ} - \angle HBC\). Значит, \(\angle HBM = (90^{\circ} - \angle HBC) - 90^{\circ} = - \angle HBC\).

Но это невозможно, значит, где-то ошибка.

Ответ: нет решения