В треугольнике АВС (рис. 2) угол C равен 90°, sin A = \(\frac{\sqrt{39}}{8}\). Найдите синус внешнего угла данного треугольника при вершине В.

Внешний угол при вершине B равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть:

\(\angle B_{внешний} = \angle A + \angle C = \angle A + 90^\circ\)

Тогда синус внешнего угла при вершине B равен:

\(sin(\angle B_{внешний}) = sin(\angle A + 90^\circ)\)

Используем формулу приведения: \(sin(90^\circ + \alpha) = cos(\alpha)\)

Значит:

\(sin(\angle B_{внешний}) = cos(\angle A)\)

Зная синус угла A, найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество:

\(sin^2 A + cos^2 A = 1\)

\(cos^2 A = 1 - sin^2 A\)

\(cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}\)

Подставим значение синуса:

\(cos A = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{39}}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{39}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 39}{64}} = \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}\)

Таким образом:

\(sin(\angle B_{внешний}) = cos(\angle A) = \frac{5}{8}\)

Ответ: \(\frac{5}{8}\)