18. В треугольнике АВС с роны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = ВУ. Найдите величину угла СВУ, если ∠САВ = 40°.

Решение:

1) Т.к. AB = AC, то треугольник ABC - равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, ∠ABC = ∠ACB.

2) Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: ∠ABC + ∠ACB + ∠CAB = 180°.

3) ∠CAB = 40° (дано), тогда: ∠ABC + ∠ACB = 180° - 40° = 140°.

4) Т.к. ∠ABC = ∠ACB, то ∠ABC = ∠ACB = 140° / 2 = 70°.

5) Рассмотрим треугольники ABY и CAX: AB = AC (по условию), AX = BY (по условию), ∠BAY = ∠CAX = 40°.

Следовательно, треугольники ABY и CAX равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

6) Из равенства треугольников ABY и CAX следует, что AY = CX.

7) Рассмотрим отрезок AC: AC = AY + YC и AC = AX + XC, следовательно, AY + YC = AX + XC.

8) Т.к. AY = CX, то YC = AX = BY.

9) Рассмотрим треугольник BYC: BY = YC, следовательно, треугольник BYC - равнобедренный.

10) Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, ∠YBC = ∠YCB.

11) ∠ACB = 70°, следовательно, ∠YCB = 70°.

12) ∠YBC = ∠YCB = 70°.

13) В треугольнике BYC: ∠BYC + ∠YBC + ∠YCB = 180°.

∠BYC + 70° + 70° = 180°.

∠BYC = 180° - 140° = 40°.

14) ∠ABC = ∠ABY + ∠YBC = 70°.

∠ABY + 70° = 70°.

∠ABY = 0°.

15) ∠CBY = ∠ABC - ∠ABY = 70° - 0° = 70°.

Ответ: 70°

Проверка за 10 секунд: Угол СВУ равен 70°, основываясь на равенстве треугольников и свойствах равнобедренного треугольника.

Уровень Эксперт: В задачах на геометрию всегда полезно делать чертёж! Он помогает увидеть скрытые закономерности и упрощает решение.