4. В треугольнике АВС сторона АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Найдите площадь треугольника АВС: 1) вычислив сначала высоту к стороне АС; 2) используя формулу Герона.

1) Найдем площадь треугольника АВС, вычислив сначала высоту к стороне АС.

Пусть высота, проведенная из вершины B к стороне AC, равна h, а точка касания высоты со стороной AC - точка H.

Пусть AH = x, тогда HC = 15 - x.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: ABH и BCH.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow 13^2 = x^2 + h^2$$

$$BC^2 = HC^2 + BH^2 \Rightarrow 14^2 = (15 - x)^2 + h^2$$

Выразим h^2 из первого уравнения: h^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2

Подставим во второе уравнение: 14^2 = (15 - x)^2 + 169 - x^2

196 = 225 - 30x + x^2 + 169 - x^2

30x = 225 + 169 - 196

30x = 198

x = 6.6

Теперь найдем h: h^2 = 169 - (6.6)^2 = 169 - 43.56 = 125.44

h = корень из 125,44 = 11.2

Площадь треугольника ABC: S = 0.5 * AC * h = 0.5 * 15 * 11.2 = 84 см^2.

2) Используя формулу Герона:

Полупериметр треугольника: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

Площадь треугольника по формуле Герона: S = корень из (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = корень из (21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = корень из (21 * 8 * 7 * 6) = корень из (7056) = 84 см^2.

Ответ: 84 см^2