3.В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, СМ- медиана, угол АСВ равен 25°. Найдите углы АМС и ACM.

Дано: ∆ABC, AC = BC, CM - медиана, ∠ACB = 25°. Найти: ∠AMC, ∠ACM.

Решение:

Т.к. AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, углы при основании AB равны: ∠CAB = ∠CBA. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠CAB = ∠CBA = (180° - ∠ACB) / 2 = (180° - 25°) / 2 = 155° / 2 = 77.5°.

Т.к. CM - медиана, то AM = MB, но т.к. треугольник ABC - равнобедренный, то CM является также высотой и биссектрисой. Значит, ∠AMC = 90° и ∠ACM = ∠ACB / 2 = 25° / 2 = 12.5°.

Ответ: ∠AMC = 90°, ∠ACM = 12.5°.