2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, К– середина АС, ВС = 13 см. На сторонах АВ и ВС соответ- ственно отмечены точки Е и Р так, что углы АКЕ и СКР равны, ВЕ = 5 см. Найдите длину РС.

2. Дано: ∆ABC, AB = BC, K – середина AC, BC = 13 см, углы AKE и CKP равны, BE = 5 см.

Найти: PC.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC. AB = BC, следовательно, треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC.

2) AK – медиана, проведённая к основанию AC равнобедренного треугольника ABC, следовательно, AK является биссектрисой и высотой, то есть угол BAK = углу BCA.

3) Рассмотрим треугольники AKE и CKP:

• AK = KC (так как K – середина AC).
• Угол AKE = углу CKP (по условию).
• Угол KAE = углу KCP (из пункта 2).

Следовательно, треугольники AKE и CKP равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

4) Из равенства треугольников AKE и CKP следует равенство сторон AE = CP.

5) Пусть AE = x, тогда CP = x.

6) Выразим сторону AB = AE + EB = x + 5. Так как AB = BC, то BC = x + 5.

7) Выразим сторону PC = BC - BP = (x + 5) - x = 5

Ответ: 5 см