В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, AB = BC, BM – медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что угол BAF = 90°. Найдите АВ, если FM = 27.

1. Так как AB = BC и угол ABC = 120°, то углы BAC и BCA равны:
   \[(180° - 120°) / 2 = 30°\]
2. BM – медиана, значит, она также является биссектрисой и высотой. Угол ABM = угол CBM = 120° / 2 = 60°.
3. Рассмотрим треугольник ABF. Угол BAF = 90°, угол ABF = 60°. Следовательно, угол AFB = 180° - (90° + 60°) = 30°.
4. В треугольнике ABF угол BAF = 90°, значит, BF является гипотенузой. FM = 27.
5. Так как угол ABM = 60° и угол BAF = 90°, то треугольник ABF – прямоугольный. AM = CM, и BM – медиана.
6. Рассмотрим треугольник ABM: AB = \(2 \cdot FM\) = \(2 \cdot 27\) = 54.

Ответ: 54