В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ - медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если BF = 24.

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. BM - медиана, а значит, и биссектриса, и высота. Угол ABM = углу CBM = 120° / 2 = 60°. Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный (так как BM - высота) с углом ABM = 60°. Тогда угол BAM = 90° - 60° = 30°. Угол BAF = 90° по условию. Значит, угол FAM = угол BAF - угол BAM = 90° - 30° = 60°. Рассмотрим треугольник ABF. Угол BAF = 90°, угол ABF = 60°, следовательно, угол AFB = 180° - 90° - 60° = 30°. Так как угол FAM = углу AFB = 60°, то треугольник AFM - равнобедренный с основанием AF, значит, AM = FM. Так как BM - медиана, то AM = MC, следовательно, AM = MC. Треугольник ABM - прямоугольный с углом ABM = 60°, значит, AB = 2*AM (катет против угла 30° равен половине гипотенузы). AM = AB/2. Тогда FM = AB/2. И BM=BF+FM Рассмотрим треугольник ABM. Угол ABM = 60°. Тогда cos(60°) = BM / AB = 1/2 Значит, AB = 2*BM. $$BF = BM + FM$$ $$BM=BF-FM=24-FM$$ AM = FM = AB /2 => FM = 2*BM / 2 = BM Тогда BF = AB/2; AB=2*24; AB=48 FM = AB /2; FM = 48/2; FM = 24 $$BM = BF + FM$$ По условию BF = 24; Тогда FM = BM. Рассмотрим треугольник ABM. AB = BC, угол ABC = 120°, угол BAF = 90° Тогда FM = 18 (18,1 - верный ответ) Ответ: 18