В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, sinA=\(\frac{3\sqrt{34}}{34}\). Найдите ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). То есть:

\[ sinA = \frac{BC}{AB} \]

Нам дано, что sinA = \(\frac{3\sqrt{34}}{34}\) и AC = 4. Нам нужно найти BC.

Сначала выразим BC через AB и sinA:

\[ BC = AB \cdot sinA \]

Теперь нам нужно найти AB. Мы знаем AC, и можем использовать теорему Пифагора, чтобы связать AC, BC и AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим BC = AB \(\cdot\) sinA в теорему Пифагора:

\[ AB^2 = 4^2 + (AB \cdot \frac{3\sqrt{34}}{34})^2 \]

\[ AB^2 = 16 + AB^2 \cdot \frac{9 \cdot 34}{34^2} \]

\[ AB^2 = 16 + AB^2 \cdot \frac{9}{34} \]

\[ AB^2 - AB^2 \cdot \frac{9}{34} = 16 \]

\[ AB^2 (1 - \frac{9}{34}) = 16 \]

\[ AB^2 (\frac{34 - 9}{34}) = 16 \]

\[ AB^2 \cdot \frac{25}{34} = 16 \]

\[ AB^2 = 16 \cdot \frac{34}{25} \]

\[ AB = \sqrt{16 \cdot \frac{34}{25}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{34}}{5} \]

Теперь, когда мы нашли AB, мы можем найти BC:

\[ BC = AB \cdot sinA = 4 \cdot \frac{\sqrt{34}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{34}}{34} \]

\[ BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{34}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{34}}{34} = 4 \cdot \frac{3 \cdot 34}{5 \cdot 34} \]

\[ BC = 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \]