В треугольнике АВС угол C равен 90°, АВ = 27, sin A = 2√2 3 Найдите длину стороны АС.

Ответ: 9

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
2. Дано \(\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) и \(AB = 27\). Подставим эти значения в формулу: \[\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{BC}{27}\]
3. Чтобы найти BC, умножим обе стороны уравнения на 27: \[BC = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 27\] \[BC = 18\sqrt{2}\]
4. Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора: \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[27^2 = AC^2 + (18\sqrt{2})^2\] \[729 = AC^2 + 18^2 \cdot 2\] \[729 = AC^2 + 324 \cdot 2\] \[729 = AC^2 + 648\] \[AC^2 = 729 - 648\] \[AC^2 = 81\] \[AC = \sqrt{81}\] \[AC = 9\]

Ответ: 9