9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 45, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка ВН.

В прямоугольном треугольнике ABC $$AB = 45$$, $$sin A = \frac{2}{3}$$. Необходимо найти длину отрезка BH.

1) Рассмотрим $$ \triangle ABC $$. $$ BC = AB \cdot sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 15 \cdot 2 = 30 $$.

2) Рассмотрим $$ \triangle CBH $$. $$ \angle H = 90^{\circ} $$. $$ \sin \angle B = \cos \angle A $$.

$$sin^2 A + cos^2 A = 1$$

$$cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

3) $$sin B = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

4) $$BH = BC \cdot cos B = BC \cdot \sqrt{1 - sin^2 B} = 30 \cdot \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = 30 \cdot \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = 30 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = 30 \cdot \frac{2}{3} = 10 \cdot 2 = 20$$

Ответ: 20