9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 45, sin A =$$\frac{2}{3}$$. Найдите длину отрезка ВН. Ответ:

Длина отрезка ВН равна.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. Выразим BC:$$BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 15 \cdot 2 = 30$$
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:$$\sin B = \frac{CH}{BC}$$
4. Выразим косинус угла А:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$
5. Так как углы А и В - острые углы прямоугольного треугольника АВС, то $$\sin B = \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$$
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. По теореме Пифагора:$$BH^2 + CH^2 = BC^2$$$$\sin^2B + \cos^2B = 1$$$$\cos B = \frac{BH}{BC}$$$$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{2}{3}$$$$BH = BC \cdot \cos B$$$$BH = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{45^2 - 30^2} = \sqrt{2025 - 900} = \sqrt{1125} = 15 \sqrt{5}$$Так как $$\cos A = \sin B$$$$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{BH}{30}$$$$BH = \frac{30 \cdot \sqrt{5}}{3} = 10\sqrt{5}$$.