В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH высота, АВ = 45, sin A = 2. Найдите длину отрезка ВН. 3

Ответ: 25

Решение:

• Дано: прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^\circ\), CH - высота, AB = 45, \(\sin A = \frac{2}{3}\).
• Найти: BH.
• Шаг 1: Найдем косинус угла A.
• Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]
• Подставим значение \(\sin A = \frac{2}{3}\): \[\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 A = 1\] \[\frac{4}{9} + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \frac{4}{9}\] \[\cos^2 A = \frac{5}{9}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]
• Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. \(\angle A\) - общий.
• Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH.
• В прямоугольном треугольнике ABC: \[\cos A = \frac{AC}{AB}\]
• В прямоугольном треугольнике ACH: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\]
• Значит, \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\) (по острому углу)
• В прямоугольном треугольнике CBH: \[\cos (90 - A) = \sin A = \frac{BH}{BC} = \frac{2}{3}\]
• Рассмотрим \(\triangle ABC\). По теореме Пифагора: \[BC^2 = AB^2 - AC^2\]
• Рассмотрим \(\triangle ACH\). По теореме Пифагора: \[AC^2 = AH^2 + CH^2\]
• Рассмотрим \(\triangle BCH\). По теореме Пифагора: \[BC^2 = BH^2 + CH^2\]
• Рассмотрим \(\triangle ABH\). \[\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{AH}{45} = \frac{\sqrt{5}}{3}\] \[AH = \frac{45\sqrt{5}}{3} = 15\sqrt{5}\] \[BH = AB - AH = 45 - 15\sqrt{5}\]
• Рассмотрим подобные треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle CBH\): \[\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BH} = \frac{AC}{CH}\] \[\frac{BC}{AB} = \sin A = \frac{2}{3}\] \[BC = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}45 = 30\] \[BH = \frac{BC^2}{AB} = \frac{30^2}{45} = \frac{900}{45} = 20\]
• Итого: BH = 20.

Ответ: 20