2224. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5}. Найдите sin A.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, дано cos A = \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\). Нам нужно найти sin A.

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Подставляем известное значение cos A:

\[\sin^2 A + \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 A + \frac{4 \cdot 6}{25} = 1\] \[\sin^2 A + \frac{24}{25} = 1\]

Теперь найдем sin²A:

\[\sin^2 A = 1 - \frac{24}{25}\] \[\sin^2 A = \frac{25}{25} - \frac{24}{25}\] \[\sin^2 A = \frac{1}{25}\]

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти sin A. Так как угол A острый, sin A будет положительным:

\[\sin A = \sqrt{\frac{1}{25}}\] \[\sin A = \frac{1}{5}\]

Ответ: \(\sin A = \frac{1}{5}\)

Проверка за 10 секунд: \(\sin^2 A + \cos^2 A = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{24}{25} = \frac{25}{25} = 1\)

Доп. профит: База. Применение основного тригонометрического тождества позволяет находить значения синуса и косинуса угла, зная одно из них.