6. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 100, sin ∠A = \frac{4}{5}. Найдите длину отрезка АН.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как sin ∠A = \[\frac{4}{5}\] , то можем найти сторону BC:

$$sin ∠A = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{100} = \frac{4}{5}$$

$$BC = \frac{4}{5} \cdot 100 = 80$$

2. Найдем AC, используя теорему Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600$$

$$AC = \sqrt{3600} = 60$$

3. Рассмотрим треугольник AHC. Он прямоугольный, так как CH - высота.

$$cos ∠A = \frac{AH}{AC}$$, $$sin^2 ∠A + cos^2 ∠A = 1$$

$$cos ∠A = \sqrt{1 - sin^2 ∠A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

$$AH = AC \cdot cos ∠A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36$$

Ответ: 36