В треугольнике АВС угол C равен 90°, АB = 12, \(\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}\). Найдите длину стороны АС.

Краткая запись:

• Треугольник ABC, \(\angle C = 90^{\circ}\)
• AB = 12
• \(\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}\)
• Найти: AC

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с \(\angle C = 90^{\circ}\), \(AB\) является гипотенузой. \(AC\) — прилежащий катет к углу \(A\), а \(BC\) — противолежащий катет.
2. Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).
3. Шаг 3: Подставляем известное значение \(\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}\): \( \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \).
4. Шаг 4: Вычисляем \(\sin^2 A\): \( \frac{11}{36} + \cos^2 A = 1 \).
5. Шаг 5: Находим \(\cos^2 A\): \( \cos^2 A = 1 - \frac{11}{36} = \frac{36 - 11}{36} = \frac{25}{36} \).
6. Шаг 6: Находим \(\cos A\). Так как \(A\) — угол острого угла в прямоугольном треугольнике, \(\cos A > 0\). \( \cos A = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \).
7. Шаг 7: Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике: \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \).
8. Шаг 8: Подставляем известные значения: \( \frac{5}{6} = \frac{AC}{12} \).
9. Шаг 9: Находим \(AC\): \( AC = 12 \cdot \frac{5}{6} = 2 \cdot 5 = 10 \).

Ответ: 10