В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB=12, sinA = $$\frac{\sqrt{11}}{6}$$. Найдите длину стороны АС.

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Мы можем найти косинус через основное тригонометрическое тождество, а затем использовать его для нахождения прилежащего катета.

Пошаговое решение:

1. Определение известных значений:
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   Угол C = 90°
   Гипотенуза AB = 12
   $$ \sin A = \frac{\sqrt{11}}{6} $$
2. Нахождение косинуса угла A:
   Используем основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $$.
3. Подставим значение $$ \sin A $$: $$ (\frac{\sqrt{11}}{6})^2 + \cos^2 A = 1 $$.
4. $$ \frac{11}{36} + \cos^2 A = 1 $$.
5. $$ \cos^2 A = 1 - \frac{11}{36} = \frac{36 - 11}{36} = \frac{25}{36} $$.
6. $$ \cos A = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} $$. (Так как угол A в прямоугольном треугольнике острый, косинус положителен).
7. Нахождение длины стороны AC:
   В прямоугольном треугольнике AC является катетом, прилежащим к углу A. Используем определение косинуса: $$ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $$.
8. $$ \cos A = \frac{AC}{AB} $$.
9. Подставим известные значения: $$ \frac{5}{6} = \frac{AC}{12} $$.
10. Чтобы найти AC, умножим обе части уравнения на 12:
    $$ AC = \frac{5}{6} imes 12 = 5 imes 2 = 10 $$.

Ответ:

Длина стороны AC равна 10.