В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, cos A = $$\frac{4\sqrt{65}}{65}$$. Найдите длину стороны ВС.

Решение:

1. Используем определение косинуса: В прямоугольном треугольнике косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB).
   $$ \cos A = \frac{AC}{AB} $$
2. Подставляем известные значения:
   $$ \frac{4\sqrt{65}}{65} = \frac{4}{AB} $$
3. Находим длину гипотенузы AB:
   $$ AB = \frac{4 \cdot 65}{4\sqrt{65}} = \frac{65}{\sqrt{65}} = \sqrt{65} $$
4. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
   $$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $$
5. Находим длину катета BC:
   $$ BC^2 = AB^2 - AC^2 $$
   $$ BC^2 = (\sqrt{65})^2 - 4^2 $$
   $$ BC^2 = 65 - 16 $$
   $$ BC^2 = 49 $$
   $$ BC = \sqrt{49} $$
   $$ BC = 7 $$

Ответ: 7