В треугольнике АВС угол C равен 90°, АВ = 28, \(\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Вспоминаем определение синуса: В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А это означает:
   \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
2. Находим длину катета BC: Подставляем известные значения:
   \[ \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{BC}{28} \]
   Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 28:
   \[ BC = 28 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 7\sqrt{7} \]
3. Вспоминаем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c\) — гипотенуза. В нашем случае:
   \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
4. Находим длину катета AC: Подставляем известные значения:
   \[ AC^2 + (7\sqrt{7})^2 = 28^2 \]
   \[ AC^2 + (49 \times 7) = 784 \]
   \[ AC^2 + 343 = 784 \]
   Вычитаем 343 из обеих частей:
   \[ AC^2 = 784 - 343 \]
   \[ AC^2 = 441 \]
   Извлекаем квадратный корень:
   \[ AC = \sqrt{441} = 21 \]

Ответ: 21