В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 180, sinA = 1/5. Найдите длину отрезка АН.

Давайте разберем эту задачу по шагам:

1. Используем данные из условия:
   • \[ \angle C = 90^{\circ} \]
   • \[ CH \] — высота.
   • \[ AB = 180 \]
   • \[ \sin A = \frac{1}{5} \]
2. Найдем высоту CH:

   В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). Однако, нам дана высота, а не катет. Давайте найдем длину катета BC.

   \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

   \[ \frac{1}{5} = \frac{BC}{180} \]

   \[ BC = 180 \times \frac{1}{5} = \frac{180}{5} = 36 \]

3. Найдем длину катета AC:

   По теореме Пифагора в треугольнике ABC:

   \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

   \[ AC^2 + 36^2 = 180^2 \]

   \[ AC^2 + 1296 = 32400 \]

   \[ AC^2 = 32400 - 1296 = 31104 \]

   \[ AC = \sqrt{31104} \]

   Чтобы найти корень, можно заметить, что $$180^2 = 32400$$. $$31104$$ близко к этому. Можно попробовать разложить на множители или использовать калькулятор. $$176^2 = 30976$$, $$177^2 hickapprox 31329$$. Значит, AC = 176. (Проверим: $$176 \times 176 = 30976$$. Видимо, где-то ошибка в моих расчетах или в условии задачи. Давайте попробуем использовать свойство высоты.

   Альтернативный подход:

   В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH, проведенная к гипотенузе, отсекает от нее два отрезка AH и HB. Мы можем использовать свойства подобных треугольников.

   Треугольники ABC, ACH и CBH подобны.

   Из подобия треугольников ABC и ACH:

   \[ \frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \]

   \[ AC^2 = AB \times AH \]

   Нам нужно найти AC. Мы знаем $$\sin A = 1/5$$. Значит, $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (1/5)^2} = \sqrt{1 - 1/25} = \sqrt{24/25} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$.

   Теперь найдем AC:

   \[ AC = AB \times \cos A = 180 \times \frac{2\sqrt{6}}{5} = 36 \times 2\sqrt{6} = 72\sqrt{6} \]

   Теперь подставим это в формулу $$AC^2 = AB \times AH$$:

   \[ (72\sqrt{6})^2 = 180 \times AH \]

   \[ 72^2 \times 6 = 180 \times AH \]

   \[ 5184 \times 6 = 180 \times AH \]

   \[ 31104 = 180 \times AH \]

   \[ AH = \frac{31104}{180} \]

   Сократим дробь:

   \[ AH = \frac{31104 \div 36}{180 \div 36} = \frac{864}{5} \]

   \[ AH = 172.8 \]

Ответ: 172.8