3.5.15. В треугольнике АВС угол С – прямой, sin A = \frac{2\sqrt{10}}{11}, АС = 15. Найдите ВС.

Разбираемся:

Логика такая:

1. Находим cos A, используя основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2(A) + cos^2(A) = 1\] \[cos(A) = \sqrt{1 - sin^2(A)} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{10}}{11})^2} = \sqrt{1 - \frac{4 \cdot 10}{121}} = \sqrt{1 - \frac{40}{121}} = \sqrt{\frac{121 - 40}{121}} = \sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{9}{11}\]

2. Теперь найдем тангенс угла A:

\[tan(A) = \frac{sin(A)}{cos(A)} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{11}}{\frac{9}{11}} = \frac{2\sqrt{10}}{9}\]

3. Тангенс угла A также равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

\[tan(A) = \frac{BC}{AC}\]

4. Выразим BC:

\[BC = AC \cdot tan(A) = 15 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{9} = \frac{30\sqrt{10}}{9} = \frac{10\sqrt{10}}{3}\]

Ответ: BC = \(\frac{10\sqrt{10}}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что тангенс угла A имеет разумное значение.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Всегда проверяй, что знаменатель не равен нулю!