2.5.1. В треугольнике АВС угол С – прямой, sinA =\frac{\sqrt{3}}{2}. Найдите cosA.

Давай решим эту задачу по тригонометрии. Нам дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и значение синуса угла A, и нужно найти косинус этого же угла. В прямоугольном треугольнике, где угол C прямой, выполняется основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] Нам известно, что \[\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\]. Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество: \[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 A = 1\] Возведём \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] в квадрат: \[\frac{3}{4} + \cos^2 A = 1\] Теперь выразим \[\cos^2 A\]: \[\cos^2 A = 1 - \frac{3}{4}\] \[\cos^2 A = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}\] \[\cos^2 A = \frac{1}{4}\] Извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти \[\cos A\]: \[\cos A = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\] \[\cos A = \pm \frac{1}{2}\] Поскольку угол A находится в прямоугольном треугольнике, он не может быть тупым (больше 90 градусов), следовательно, его косинус должен быть положительным. Таким образом: \[\cos A = \frac{1}{2}\]

Ответ: \(\cos A = \frac{1}{2}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!