23. В треугольнике АВС угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, радиус вписанной окружности r = 2, а гипотенуза AB = 13. Обозначим катеты как a и b. Тогда площадь треугольника $$S = \frac{1}{2}ab$$. Также известно, что $$a^2 + b^2 = AB^2 = 13^2 = 169$$ (по теореме Пифагора). Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле $$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где c - гипотенуза. В нашем случае, $$2 = \frac{a + b - 13}{2}$$, откуда $$a + b = 4 + 13 = 17$$. Теперь у нас есть два уравнения: 1) $$a + b = 17$$ 2) $$a^2 + b^2 = 169$$ Выразим $$b$$ из первого уравнения: $$b = 17 - a$$. Подставим во второе уравнение: $$a^2 + (17 - a)^2 = 169$$. $$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$$. $$2a^2 - 34a + 120 = 0$$. $$a^2 - 17a + 60 = 0$$. Решим квадратное уравнение для $$a$$: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$$. $$a_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$$. $$a_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$. Если $$a = 12$$, то $$b = 17 - 12 = 5$$. Если $$a = 5$$, то $$b = 17 - 5 = 12$$. В любом случае, катеты равны 5 и 12. Тогда площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$. Ответ: Площадь треугольника ABC равна 30.