В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45° больше угла А. а) Найдите углы треугольника. б) Сравните стороны АВ и ВС.

a) Пусть угол А равен $$x$$, тогда угол В равен $$x + 45°$$, а угол С равен $$\frac{x + 45°}{2}$$. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$x + (x + 45°) + \frac{x + 45°}{2} = 180°$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2x + 2(x + 45°) + (x + 45°) = 360°$$

$$2x + 2x + 90° + x + 45° = 360°$$

$$5x + 135° = 360°$$

$$5x = 360° - 135°$$

$$5x = 225°$$

$$x = \frac{225°}{5}$$

$$x = 45°$$

Угол А = 45°

Угол В = 45° + 45° = 90°

Угол С = $$\frac{45° + 45°}{2} = \frac{90°}{2} = 45°$$

Проверка: 45° + 90° + 45° = 180°

б) В треугольнике АВС: ∠A = 45°, ∠B = 90°, ∠C = 45°. Следовательно, треугольник АВС - прямоугольный и равнобедренный (∠A = ∠C). В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. В данном случае, сторона АВ лежит против угла С, а сторона ВС лежит против угла А. Так как углы А и С равны, то и стороны АВ и ВС равны.

Ответ: а) ∠A = 45°, ∠B = 90°, ∠C = 45°; б) AB = BC