10. В треугольнике АВС угол В равен 120°, внешний угол при вершине Сравен 150°, сторона ВС равна 38. Из вершины А проведена высота АН. Найдите длину отрезка ВН.

Дано: треугольник ABC, ∠B = 120°, внешний угол при вершине C равен 150°, BC = 38, AH - высота.

Найти: BH.

Решение:

1) Внешний угол при вершине C равен 150°, следовательно, внутренний угол C равен 180° - 150° = 30°.

2) Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, угол A равен 180° - (120° + 30°) = 180° - 150° = 30°.

3) Рассмотрим треугольник ABH. В нем угол AHB = 90°. Тогда угол BAH равен 90° - угол B = 90° - (180°-120°) = 90 - 60 = 30°.

4) Рассмотрим треугольник AHC. В нем угол AHC = 90°, угол C = 30°, тогда угол CAH равен 90 - 30 = 60°.

5) Рассмотрим треугольник ABH: $$\frac{BH}{AB}=cos(120^{\circ}-90^{\circ})=cos(30^{\circ})$$ => $$BH=AB*cos(30^{\circ})$$

6) $$AB=\frac{BC}{sin(30^{\circ})}=\frac{38}{sin(30^{\circ})}=38*2=76$$. => $$BH=76*cos(30^{\circ})=76*\frac{\sqrt{3}}{2}=38\sqrt{3}$$

Ответ: $$38\sqrt{3}$$