6. В треугольнике АВС ВМ - медиана и ВН – высота. Известно, что АС=136, HC=34 и ∠ACB=49°. HНайдите ∠АМВ. Ответ дайте в градусах.

Шаг 1: Определим CH.

По условию HC = 34. AC = 136. Значит AH = AC - HC = 136 - 34 = 102.

Шаг 2: Определим BC.

В треугольнике BHC, cos(∠ACB) = HC / BC. Значит BC = HC / cos(∠ACB) = 34 / cos(49°).

cos(49°) ≈ 0.656

BC ≈ 34 / 0.656 ≈ 51.83.

Шаг 3: Определим AM.

Так как BM - медиана, то AM = MC = AC / 2 = 136 / 2 = 68.

Шаг 4: Найдем угол ∠BMA.

Рассмотрим треугольник BMC. MC = AC / 2 = 68. AM = MC.

Применим теорему косинусов к треугольнику BMA.

cos(∠AMB) = (AM² + BM² - AB²) / (2 * AM * BM)

Сначала найдем BM.

По теореме Стюарта: AB² * MC + BC² * AM = AC * (BM² + AM * MC)

AB² * 68 + (51.83)² * 68 = 136 * (BM² + 68²)

Разделим обе части на 68:

AB² + (51.83)² = 2 * (BM² + 68²)

AB² + 2686.35 = 2BM² + 9248

2BM² = AB² - 6561.65

Но у нас нет значения AB. Поэтому воспользуемся другим способом:

В треугольнике BHC, ∠HBC = 90° - ∠ACB = 90° - 49° = 41°.

В треугольнике ABH, AH = 102, BH = √(BC² - HC²) = √(51.83² - 34²) = √(2686.35 - 1156) = √1530.35 ≈ 39.12.

AB = √(AH² + BH²) = √(102² + 39.12²) = √(10404 + 1530.35) = √11934.35 ≈ 109.24.

BM² = (AB² + BC²)/2 - AC²/4

BM² = (109.24² + 51.83²)/2 - 136²/4 = (11933.41 + 2686.35)/2 - 4624 = 14619.76/2 - 4624 = 7309.88 - 4624 = 2685.88.

BM ≈ √2685.88 ≈ 51.82.

Тогда cos(∠AMB) = (68² + 51.82² - 109.24²) / (2 * 68 * 51.82) = (4624 + 2685.31 - 11933.41) / 7047.36 = -4624.1 / 7047.36 ≈ -0.656.

∠AMB = arccos(-0.656) ≈ 131°.

Ответ: 131