5. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС=10 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Пусть АН = x, тогда НС = 10 - x. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. В нём ВС² = ВН² + НС². Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. В нём ВН² = АВ² - АН². Тогда ВС² = АВ² - АН² + НС². Так как ВС = ВМ, то ВМ² = АВ² - АН² + НС². Медиана ВМ делит сторону АС пополам, следовательно, АМ = МС = 5. По теореме о медиане треугольника, АВ² + ВС² = 2 * (ВМ² + АМ²). Получаем АВ² + ВС² = 2 * (ВС² + 5²). Отсюда АВ² = ВС² + 50. Подставим в первое уравнение: ВС² = ВС² + 50 - x² + (10 - x)². Тогда 0 = 50 - x² + 100 - 20x + x². 20x = 150, x = 7,5.

Ответ: 7,5