12 В треугольнике АВС внешние углы при вершинах A и С равны 150°, АВ=48. Найдите длину биссектрисы ВК.

Рассмотрим треугольник ABC. Внешний угол при вершине A равен 150°, значит, внутренний угол при вершине A равен 180° - 150° = 30°. Внешний угол при вершине C равен 150°, значит, внутренний угол при вершине C равен 180° - 150° = 30°.

Следовательно, угол B равен 180° - 30° - 30° = 120°.

Биссектриса BK делит угол B пополам, поэтому угол ABK равен углу CBK и равен 120°/2 = 60°.

Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол BAK равен 30°, угол ABK равен 60°, значит, угол AKB равен 180° - 30° - 60° = 90°.

Треугольник ABK - прямоугольный с углом AKB = 90°.

В прямоугольном треугольнике ABK катет AK, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB.

Но нам нужно найти биссектрису ВК.

Косинус угла ABK равен отношению прилежащего катета (BK) к гипотенузе (AB):

$$cos(60°) = \frac{BK}{AB}$$

$$BK = AB \cdot cos(60°)$$

$$BK = 48 \cdot \frac{1}{2}$$

$$BK = 24$$

Ответ: 24