4. В треугольнике DBC найдите угол С, если BD=2√5, BC=6, CD=2√2.

4. Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов:

$$ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C $$

В нашем случае:

$$ BD = 2\sqrt{5} $$ $$ BC = 6 $$ $$ CD = 2\sqrt{2} $$

Подставим значения в формулу:

$$ (2\sqrt{5})^2 = 6^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos C $$ $$ 20 = 36 + 8 - 24\sqrt{2} \cdot \cos C $$ $$ 20 = 44 - 24\sqrt{2} \cdot \cos C $$ $$ 24\sqrt{2} \cdot \cos C = 44 - 20 $$ $$ 24\sqrt{2} \cdot \cos C = 24 $$ $$ \cos C = \frac{24}{24\sqrt{2}} $$ $$ \cos C = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ $$ \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Угол C, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, равен 45 градусам.

Ответ: $$ \angle C = 45^\circ $$