В треугольнике KMP KM = 4, KP = 5. Найдите площадь треугольника, если: а) через прямую, содержащую сторону KP, и центр окружности, описанной около треугольника, можно провести по крайней мере две различные плоскости; б) через прямую KM, перпендикулярную KP, и центр окружности, вписанной в треугольник, можно провести по крайней мере две различные плоскости.

Прямая и точка вне неё определяют единственную плоскость. Поэтому через прямую и точку можно провести более одной плоскости только тогда, когда точка лежит на прямой.

а) Центр описанной окружности лежит на прямой KP, значит, он является серединой KP. Следовательно, KP — диаметр описанной окружности, а угол KMP прямой. По теореме Пифагора MP = √(KP² − KM²) = √(25 − 16) = 3. Площадь равна KM · MP / 2 = 4 · 3 / 2 = 6.

б) Условие говорит, что KM ⟂ KP, то есть угол MKP прямой. Центр вписанной окружности невырожденного треугольника лежит внутри треугольника и не лежит на прямой KM. Поэтому через него и прямую KM можно провести только одну плоскость. Условие пункта б) невыполнимо для невырожденного треугольника; площадь определить нельзя, поскольку такого треугольника не существует.

Ответ: а) 6; б) условие противоречиво, такого треугольника не существует.