5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ∠M=30°, отрезок FD - биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

Дано: ΔMNF, ∠N = 90°, ∠M = 30°, FD - биссектриса, FD = 20 см. Найти: MN. Решение: 1. Найдем ∠F. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠F = 180° - ∠N - ∠M = 180° - 90° - 30° = 60° 2. Так как FD – биссектриса, то ∠MFD = ∠NFD = ∠F / 2 = 60° / 2 = 30° 3. Рассмотрим ΔFND. ∠N = 90°, ∠NFD = 30°, FD = 20 см. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит, ND = FD / 2 = 20 / 2 = 10 см. 4. Найдем ∠DFN. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠DFN = 180° - ∠N - ∠NFD = 180° - 90° - 30° = 60° 5. Рассмотрим ΔMFN. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. tg(∠M) = MN / NF MN = NF * tg(∠M) = NF * tg(30°) 6. Найдем NF. tg(∠DFN) = ND / NF NF = ND / tg(∠DFN) = 10 / tg(60°) = 10 / √3 = (10√3) / 3 7. Подставим значение NF в формулу для MN: MN = ((10√3) / 3) * tg(30°) = ((10√3) / 3) * (1 / √3) = 10 / 3 Ответ: MN = 10 / 3 см