5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ∠M = 30°, отрезок FD – биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

В прямоугольном треугольнике MNF $$\angle{N} = 90^{\circ}$$, $$\angle{M} = 30^{\circ}$$, следовательно, $$\angle{F} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$$. FD - биссектриса, значит, она делит угол F пополам, следовательно, $$\angle{DFN} = \frac{1}{2} \cdot \angle{F} = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

Рассмотрим треугольник DFN - прямоугольный, т.к. $$\angle{N} = 90^{\circ}$$. Катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, следовательно, DN = $$\frac{1}{2} \cdot FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$$ см.

Рассмотрим треугольник MDN - прямоугольный, т.к. $$\angle{N} = 90^{\circ}$$.$$\angle{M} = 30^{\circ}$$. ND - катет, прилежащий к углу M, следовательно, используем тангенс.

$$\tan{M} = \frac{MN}{DN}$$ $$\tan{30^{\circ}} = \frac{MN}{10}$$

$$MN = 10 \cdot \tan{30^{\circ}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$$ см.

Ответ: $$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$$ см.