5. В треугольнике MNK, O – точка пересечения медиан. Выразите вектор $$\vec{MO}$$ через векторы $$\vec{x} = \vec{MN}$$ и $$\vec{y} = \vec{MK}$$.

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть NК - медиана. Тогда $$\vec{MO} = -\frac{2}{3}\vec{NM_1}$$, где M1 - середина отрезка NK. $$\vec{NM_1} = \frac{1}{2}(\vec{NK}) = \frac{1}{2}(\vec{NM} + \vec{MK})$$ По правилу треугольника $$\vec{NK} = \vec{NM} + \vec{MK}$$. Но $$\vec{NM} = -\vec{MN} = -\vec{x}$$ и $$\vec{MK} = \vec{y}$$. Следовательно, $$\vec{NK} = -\vec{x} + \vec{y}$$. Тогда $$\vec{NM_1} = \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y})$$. $$\vec{MO} = -\frac{2}{3} \vec{NM_1} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{3}\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$$. Ответ:$$\vec{MO} = \frac{1}{3}\vec{x} - \frac{1}{3}\vec{y}$$