5. В треугольнике MNP MN = 10 см, МР = 8 см, NP = 6 см. Найдите площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне MN.

5. Решение:

Заметим, что $$MN^2 = MP^2 + NP^2$$ или $$10^2 = 8^2 + 6^2$$, то есть $$100 = 64 + 36 = 100$$.

Следовательно, треугольник MNP прямоугольный и угол MNP - прямой. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

$$S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. В данном случае основание - MN, а высота - PK. То есть, $$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot PK$$.

Из этого следует, что $$\frac{1}{2} \cdot MN \cdot PK = 24$$.

Подставим MN = 10 см в это уравнение:

$$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot PK = 24$$ $$5 \cdot PK = 24$$ $$PK = \frac{24}{5} = 4.8$$ см.

Ответ: площадь 24 см², высота РК 4.8 см.