4 В треугольнике MPK сторона MK = 28, MP = 17, PK = 25. Найдите площадь треугольника MPK: 1) вычислив сначала высоту к стороне MK; 2) используя формулу Герона.

1) Вычислим сначала высоту к стороне MK.

Пусть MH = x, тогда HK = 28 - x. Высота PH является общей для двух прямоугольных треугольников: MPH и KPH.

Из треугольника MPH: $$PH^2 = MP^2 - MH^2 = 17^2 - x^2$$.

Из треугольника KPH: $$PH^2 = PK^2 - HK^2 = 25^2 - (28 - x)^2$$.

Приравняем выражения для PH^2: $$17^2 - x^2 = 25^2 - (28 - x)^2$$.

1. Решим уравнение: $$289 - x^2 = 625 - (784 - 56x + x^2)$$, $$289 - x^2 = 625 - 784 + 56x - x^2$$, $$289 = -159 + 56x$$, $$56x = 448$$, $$x = 8$$.
2. Найдем высоту PH: $$PH = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$.
3. Площадь треугольника MPK: $$S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot PH = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$$.

2) Используя формулу Герона.

Формула Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$, где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

1. Найдем полупериметр: $$p = \frac{MK + MP + PK}{2} = \frac{28 + 17 + 25}{2} = \frac{70}{2} = 35$$.
2. Вычислим площадь: $$S = \sqrt{35(35 - 28)(35 - 17)(35 - 25)} = \sqrt{35 \cdot 7 \cdot 18 \cdot 10} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210$$.

Ответ: 210