33. В треугольнике НСЕ известно, что ∠ H = 68°, ∠ E = 44°. На продолжении НЕ отложены отрезки НА и ЕВ так, что АН = НС и ВЕ = СЕ. Найдите углы треугольника АВС.

Сначала найдем угол HCE в треугольнике HCE. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому

$$\angle HCE = 180^{\circ} - \angle H - \angle E = 180^{\circ} - 68^{\circ} - 44^{\circ} = 68^{\circ}$$

Значит, треугольник HCE равнобедренный с основанием HE, и HC = CE.

Так как AH = HC и BE = CE, то AH = HC = BE = CE. Следовательно, треугольники AHC и BEC - равнобедренные.

В треугольнике AHC, AH = HC, значит, углы при основании AC равны: \(\angle HAC = \angle HCA\). Обозначим \(\angle HAC = x\).

Тогда \(\angle AHC\) является внешним углом треугольника AHC и равен сумме двух других углов, не смежных с ним: \(\angle AHC = \angle HAC + \angle HCA = x + x = 2x\). Но \(\angle AHC = 68^{\circ}\), значит, \(2x = 68^{\circ}\), откуда \(x = 34^{\circ}\). Итак, \(\angle HAC = \angle HCA = 34^{\circ}\).

Аналогично, в треугольнике BEC, BE = CE, значит, углы при основании BC равны: \(\angle EBC = \angle ECB\). Обозначим \(\angle EBC = y\).

Тогда \(\angle BEC\) является внешним углом треугольника BEC и равен сумме двух других углов, не смежных с ним: \(\angle BEC = \angle EBC + \angle ECB = y + y = 2y\). Но \(\angle BEC = 44^{\circ}\), значит, \(2y = 44^{\circ}\), откуда \(y = 22^{\circ}\). Итак, \(\angle EBC = \angle ECB = 22^{\circ}\).

Теперь найдем углы треугольника ABC:

• \(\angle BAC = \angle HAC = 34^{\circ}\)
• \(\angle ABC = \angle EBC = 22^{\circ}\)
• \(\angle ACB = \angle HCA + \angle HCE + \angle ECB = 34^{\circ} + 68^{\circ} + 22^{\circ} = 124^{\circ}\)

Ответ: Углы треугольника ABC равны 34°, 22° и 124°.