В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?

1. 
   

   Обозначим переменные:

   
   
   
   
   • \(S\) – площадь сечения узкого сосуда
   
   
   • \(4S\) – площадь сечения широкого сосуда
   
   
   • \(h = 20 \) см – высота столба керосина
   
   
   • \(x\) – изменение уровня воды в широком сосуде
   
   
   • \(y\) – изменение уровня воды в узком сосуде
   
   
   
   


2. 
   

   Запишем уравнение баланса объемов:

   
   

   Увеличение объема воды в широком сосуде должно равняться уменьшению объема воды в узком сосуде:

   
   \[4S \cdot x = S \cdot y \Rightarrow y = 4x\]
   


3. 
   

   Запишем уравнение равенства давлений:

   
   

   Давление керосина должно уравновешиваться давлением поднявшейся воды:

   
   \[\rho_{керосина} \cdot g \cdot h = \rho_{воды} \cdot g \cdot (x + y)\]
   

   Сокращаем \(g\) и подставляем \(y = 4x\):

   
   \[\rho_{керосина} \cdot h = \rho_{воды} \cdot 5x\]
   


4. 
   

   Выразим изменение уровня воды в широком сосуде:

   
   \[x = \frac{\rho_{керосина} \cdot h}{5 \cdot \rho_{воды}}\]
   


5. 
   

   Подставим значения и вычислим:

   
   

   Плотность керосина \(\rho_{керосина} = 800\) кг/м³, плотность воды \(\rho_{воды} = 1000\) кг/м³:

   
   \[x = \frac{800 \cdot 20}{5 \cdot 1000} = 3.2 \text{ см}\]
   


6. 
   

   Найдем изменение уровня воды в узком сосуде:

   
   \[y = 4x = 4 \cdot 3.2 = 12.8 \text{ см}\]
   

Ответ: Уровень воды в широком сосуде повысится на 3.2 см, а в узком сосуде опустится на 12.8 см.

Проверка за 10 секунд: Уровень в узком сосуде изменится сильнее, чем в широком, так как площадь сечения узкого сосуда меньше.

Доп. профит: База. Уравнение баланса объемов и уравнение равенства давлений — ключевые инструменты для решения задач с сообщающимися сосудами. Освой их в совершенстве!