1. В тупоугольном треугольнике АВС АС = ВС, высота АН равна 24, СН = 7. Найдите cos АСВ.

Рассмотрим треугольник АНС. Он прямоугольный, так как АН - высота. По теореме Пифагора найдем АС.

$$\begin{aligned} AC^2 &= AH^2 + HC^2 \\ AC^2 &= 24^2 + 7^2 \\ AC^2 &= 576 + 49 \\ AC^2 &= 625 \\ AC &= \sqrt{625} = 25 \end{aligned}$$

AC = BC = 25, значит, треугольник ABC равнобедренный. Проведем высоту CK. Она же является и медианой, значит АК = АК.

Рассмотрим треугольник ACK. Он прямоугольный, cos угла ACB = KC/AC.

Найдем АК: АК = АВ/2

Найдем АВ. Рассмотрим треугольник АНВ. НВ = АН + СН = 24 + 7 = 31

$$\begin{aligned} AB^2 &= AH^2 + HB^2 \\ AB^2 &= 24^2 + 31^2 \\ AB^2 &= 576 + 961 \\ AB^2 &= 1537 \\ AB &= \sqrt{1537} \end{aligned}$$

Тогда $$AK = \frac{\sqrt{1537}}{2}$$.

Найдем СК. Рассмотрим треугольник СКВ. КВ = АВ/2.

$$\begin{aligned} CK^2 &= BC^2 - KB^2 \\ CK^2 &= 25^2 - (\frac{\sqrt{1537}}{2})^2 \\ CK^2 &= 625 - \frac{1537}{4} \\ CK^2 &= \frac{2500 - 1537}{4} \\ CK^2 &= \frac{963}{4} \\ CK &= \frac{\sqrt{963}}{2} \end{aligned}$$

Найдем косинус:

$$\begin{aligned} cos \angle ACB &= \frac{CK}{AC} \\ cos \angle ACB &= \frac{\frac{\sqrt{963}}{2}}{25} = \frac{\sqrt{963}}{50} \end{aligned}$$

Либо можно решить проще:

По теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos \angle ACB$$ $$\begin{aligned} 1537 &= 25^2 + 25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot cos \angle ACB \\ 1537 &= 625 + 625 - 1250 \cdot cos \angle ACB \\ 1537 &= 1250 - 1250 \cdot cos \angle ACB \\ 1250 \cdot cos \angle ACB &= 1250 - 1537 \\ 1250 \cdot cos \angle ACB &= -287 \\ cos \angle ACB &= -\frac{287}{1250} = -0,2296 \end{aligned}$$

Ответ: -0,2296