16. В угол С величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Так как окружность вписана в угол C и касается сторон угла в точках A и B, то отрезки OA и OB являются радиусами окружности, проведенными в точки касания. Следовательно, OA ⊥ AC и OB ⊥ BC. Таким образом, углы OAC и OBC прямые, то есть равны 90°.

Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Известны углы OAC = 90°, OBC = 90° и угол C = 157°. Тогда:

$$∠AOB = 360° - ∠OAC - ∠OBC - ∠C = 360° - 90° - 90° - 157° = 360° - 337° = 23°$$

Ответ: 23