В4. Упростите выражение tg(-x) cos x 3 cos(-x) tgx и вычислите его значение при sin x =

Ответ: \(-\frac{8}{3}\)

Упрощение выражения:

• Шаг 1: Преобразуем tg(-x) и cos(-x): \[\tg(-x) = -\tg(x), \quad \cos(-x) = \cos(x)\]
• Шаг 2: Подставим преобразованные выражения в исходное: \[-\tg(x) \cdot \cos(x) - \frac{\cos(x)}{\tg(x)}\]
• Шаг 3: Выразим tg(x) через sin(x) и cos(x): \[-\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \cos(x) - \frac{\cos(x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\]
• Шаг 4: Упростим выражение: \[-\sin(x) - \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}\]
• Шаг 5: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)}\]
• Шаг 6: Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\): \[\frac{-1}{\sin(x)}\]

Вычисление значения:

• Шаг 1: Подставим \(\sin(x) = \frac{1}{3}\) в упрощенное выражение: \[\frac{-1}{\frac{1}{3}}\]
• Шаг 2: Вычислим: \[-3\]

Вычисление значения:

• Шаг 1: Найдем значение cos x, зная sin x = 1/3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\] Подставим значение sin x: \[(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 x = 1\] \[\frac{1}{9} + \cos^2 x = 1\] \[\cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\] \[\cos x = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\]
• Шаг 2: Подставим значения sin x и cos x в исходное выражение: \[-\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \cos(x) - \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = -\sin(x) - \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}\] \[= -\frac{1}{3} - \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3} - \frac{8}{9} \cdot 3 = -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} = -3\]

Ответ: \(-3\)